Question

11．已知單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為120°，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$$•\overrightarrow{{e}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$|（λ∈R）的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用兩個向量的數量積的定義求得$\overrightarrow{{e}_{1}}$$•\overrightarrow{{e}_{2}}$的值，再根據于|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{{e}_{1}}-λ\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$，計算求得結果．

解答 解：∵單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為120°，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$$•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1•1•cos120°=-$\frac{1}{2}$；
由于|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$|（λ∈R）=$\sqrt{{（\overrightarrow{{e}_{1}}-λ\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2λ•\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{+λ}^{2}{•\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{1-2λ•（-\frac{1}{2}）{+λ}^{2}}$=$\sqrt{{（λ+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$，
故當λ=-$\frac{1}{2}$時，|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$|（λ∈R）取得最小值為$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎題．