Question

18．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的非負半軸重合．曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=-\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C₂的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）將曲線C₁，C₂分別化為普通方程、直角坐標方程，并說明表示什么曲線；
（Ⅱ）設F（1，0），曲線C₁與曲線C₂相交于不同的兩點A，B，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數方程消去參數t，化為普通方程得y=-x+1，表示一條直線；由cos2θ=1-2sin²θ，得曲線C₂的方程可變形為ρ²sin²θ=4ρcosθ，化為直角坐標方程可得y²=4x，曲線C₂表示頂點在原點，焦點為（1，0）的拋物線．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，由題意知F（1，0）為曲線C₂的焦點，由此能求出|AF|+|BF|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=-\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
將曲線C₁的參數方程消去參數t，
化為普通方程得y=-x+1，表示一條直線．
曲線C₂的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ．
由cos2θ=1-2sin²θ，得曲線C₂的方程可變形為ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化為直角坐標方程可得y²=4x，曲線C₂表示頂點在原點，焦點為（1，0）的拋物線…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，可得x²-6x+1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，
由題意知F（1，0）為曲線C₂的焦點
所以|AF|+|BF|=（x₁+1）+（x₂+1）=x₁+x₂+2=8…（10分）

點評 本題考查直線的普通方程、曲線的直角坐標方程的求法，考查兩線段和的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．