Question

20．為了解甲、乙兩校高三年級學生某次期末聯考地理成績情況，從這兩學校中分別隨機抽取30名高三年級的地理成績（百分制）作為樣本，樣本數據的莖葉圖如圖所示：

（1）若乙校高三年級每位學生被抽取的概率為0.15，求乙校高三年級學生總人數；
（2）根據莖葉圖，分析甲、乙兩校高三年級學生在這次聯考中哪個學校地理成績較好？（不要求計算，要求寫出理由）；
（3）從樣本中甲、乙兩校高三年級學生地理成績不及格（低于60分為不及格）的學生中隨機抽取2人，求至少抽到一名乙校學生的概率．

Answer 1

分析 （1）由每位同學被抽取的概率均為0.15，能求出高三年級學生總數．
（2）由莖葉圖可知甲校有22位同學分布在60至80之間，乙校也有22位同學分布在70 至80之間，乙校的總體成績分布下沉且較集中即成績的平均數較大，方差較小．從而乙校學生的成績較好．
（3）由莖葉圖可知，甲校有4位同學成績不及格，分別記為：1、2、3、4，乙校有2位同學成績不及格，分別記為：5、6．利用列舉法能求出至少抽到一名乙校學生的概率．

解答 解：（1）因為每位同學被抽取的概率均為0.15，
則高三年級學生總數$M=\frac{30}{0.15}=200$…（2分）
（2）由莖葉圖可知甲校有22位同學分布在60至80之間，乙校也有22位同學分布在70 至80之間，
乙校的總體成績分布下沉且較集中即成績的平均數較大，方差較小．
所以，乙校學生的成績較好．   …．…（6分）
（3）由莖葉圖可知，甲校有4位同學成績不及格，分別記為：1、2、3、4，
乙校有2位同學成績不及格，分別記為：5、6．
則從兩校不及格的同學中隨機抽取兩人有如下可能：
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、
（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），總共有15個基本事件．
記“乙校包含至少有一名學生成績不及格”的事件為A，
則A包含9個基本事件，分別為：
（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．
所以，至少抽到一名乙校學生的概率$P（A）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，考查莖葉圖、古典概型、列舉法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題．