Question

19．若實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則（x+2）²+（y-3）²的最大值和最小值之和為（　　）

• A． $\frac{19}{2}$
• B． $\frac{35}{2}$
• C． 14
• D． 18

Answer 1

分析 畫出不等式組表示的平面區域，根據（x+2）²+（y-3）²的幾何意義求出最小值與最大值，再求和即可．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$表示的平面區域如圖所示；
其中點A（-1，1），B（1，1），C（0，2），
而（x+2）²+（y-3）²的幾何意義是平面區域內的點（x，y）與點（-2，3）的距離的平方，
最小值為點（-2，3）到直線x-y+2=0的距離的平方，
即d²=${（\frac{|-2-3+2|}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{9}{2}$；
最大值為點（-2，3）到點B的距離的平方，即d′²=（1+2）²+（1-3）²=13，
所以最大值與最小值之和為$\frac{9}{2}$+13=$\frac{35}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了線性規劃的應用問題，也考查了數形結合的思想方法，是中檔題．