Question

17．某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區A₁B₁C₁D₁（陰影部分）和環公園人行道組成．已知休閑區A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米．
（1）若設休閑區的長A₁B₁=x米，求公園ABCD所占面積S關于x的函數S（x）的解析式；
（2）要使公園所占面積最小，休閑區A₁B₁C₁D₁的長和寬該如何設計？并求出面積最小值．

Answer 1

分析 （1）利用休閑區A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，表示出${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米，進而可得公園ABCD所占面積S關于x的函數S（x）的解析式；
（2）利用基本不等式確定公園所占最小面積，即可得到結論．

解答 解：（1）由A₁B₁=x米，知${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米，
∴$S=（x+20）（\frac{4000}{x}+8）$=$4160+8x+\frac{80000}{x}（x＞0）$；
（2）$S=4160+8x+\frac{80000}{x}≥4160+2\sqrt{8x•\frac{80000}{x}}=5760$，
當且僅當$8x=\frac{80000}{x}$，即x=100時取等號，
∴要使公園所占面積最小，休閑區A₁B₁C₁D₁的長為100米、寬為40米，面積最小值為5760．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，是中檔題．