Question

8．設f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，記f₁（x）=f（x），若f_k+1（x）=f（f_k（x）），k∈N^*，則f₂₀₁₆（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．

Answer 1

分析 由已知分別求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），歸納出規律：f_k（x）以周期T=3的周期數列，由此能求出f₂₀₁₆（x）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，記f₁（x）=f（x），若f_k+1（x）=f（f_k（x）），k∈N^*，
∴f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
${f}_{2}（x）=f（\frac{1-x}{1+x}）$=$\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}$=x，
f₃（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
f₄（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
…
歸納出規律：f_k（x）以周期T=3的周期數列，
∴f₂₀₁₆（x）=f₃（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
故答案為：$\frac{1-x}{1+x}$．

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．