Question

19．如圖，菱形ABCD的邊長為2，△BCD為正三角形，現將△BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為C′，且CC′=$\sqrt{3}$，連接CC′，E為CC′的中點．
文科：（1）求證：AC′∥平面BDE；
（2）求證：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱錐C′-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，則OE∥AC′，由此能證明AC′∥平面BDE．
（2）由翻折前后可知BE⊥CC′，DE⊥CC′，由此能證明CC′⊥平面BDE．
（3）連接OE，三棱錐C′-BCD的體積：${V}_{{C}^{'}-BCD}={V}_{{C}^{'}-BDE}+{V}_{C-BDE}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）連接OE，則在菱形ABCD中，O為AC中點，
又E為CC′的中點，∴OE∥AC′，
∵OE?平面BDE，AC′?平面BDE，
∴AC′∥平面BDE．
（2）由翻折前后可知：
BC=BC′，DC=DC′，
又E為CC′中點，∴BE⊥CC′，DE⊥CC′，
又BE∩DE=E，∴CC′⊥平面BDE．
解：（3）連接OE，則由（2）知△CEO為直角三角形，OE⊥BD，
∴BD=2，OE=$\frac{3}{2}$，
∴三棱錐C′-BCD的體積：
${V}_{{C}^{'}-BCD}={V}_{{C}^{'}-BDE}+{V}_{C-BDE}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDE}×E{C}^{'}+\frac{1}{3}×{S}_{△BDE}×EC$
=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}×C{C}^{'}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×OE×C{C}^{'}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．