Question

11．已知函數f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）
（1）當a=-1時，求函數的值域；
（2）是否存在a∈R，使f（x）在（-∞，2）上單調遞增，若存在，求出a的取值范圍，不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=-1時，可得到$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）$，配方即可求得x²+2x+3≥2，這樣根據對數函數單調性即可求得f（x）的值域；
（2）可看出f（x）是由t=x²-2ax+3及$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復合而成的復合函數，根據復合函數、對數函數和二次函數的單調性即可得出$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+3＞0}\end{array}\right.$，而該不等式組無解，從而得出不存在a使f（x）在（-∞，2）上單調遞增．

解答 解：（1）a=-1時，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）$；
∵x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）≤lo{g}_{\frac{1}{2}}2=-1$；
即f（x）≤-1；
∴函數值域為（-∞，-1]；
（2）f（x）是由t=x²-2ax+3和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復合成的復合函數，且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$單調遞減；
又f（x）在（-∞，2）上單調遞增，設t=g（x），則：
g（x）在（-∞，2）上單調遞減，且g（2）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+3＞0}\end{array}\right.$；
解得a∈∅；
∴不存在a使f（x）在（-∞，2）上單調遞增．

點評 考查值域的概念及求法，配方求二次函數值域的方法，復合函數的定義，以及復合函數、二次函數和對數函數的單調性．