Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）（理）求二面角A-A₁C-B的余弦值大小．
（文）求此棱柱的體積．

Answer 1

分析 分析1）欲證AB⊥A₁C，而A₁C?平面ACC₁A₁，可先證AB⊥平面ACC₁A₁，根據三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，可知AB⊥AA₁，由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）（理）作AD⊥A₁C交A₁C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A₁C，則∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A-A₁C-B的余弦值即可．
（文）根據柱體的體積公式求解即可．

解答 解：
（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°
∴AA₁⊥AB，
∵三角形ABC中AB=1，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，
∴由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$，∠ACB=30°
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥面A₁CA；
∵A₁C?面A₁CA；
∴AB⊥A₁C；
（2）（理）如圖，作AD⊥A₁C交A₁C于D點，連接BD，
由三垂線定理知BD⊥A₁C，
∴∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角．
在Rt△AA₁C中，AD=$\frac{A{A}_{1}•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos∠ADB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-A₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$
（2 ）（文）此棱柱的體積=$\frac{1}{2}×AB×AC×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$

點評 本題考查了學生的空間思維能力，直線平面的垂直問題轉化為平面的垂直解決問題的能力，關鍵確定直線的位置關系．