Question

17．$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$）

Answer 1

分析 先利用裂項(xiàng)求和化簡，然后求解數(shù)列的極限．

解答 解：∵$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，
∴$\frac{1}{1×2×3}$$+\frac{1}{2×3×4}$$+\frac{1}{3×4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1×2}-\frac{2}{2×3}）+（\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}）+$$（\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}）$$+…+（\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）]$
=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$．
$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$
=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)列極限的求解，解題的關(guān)鍵是利用裂項(xiàng)求和，但本題裂項(xiàng)是考生容易出現(xiàn)錯誤的地方，注意此類裂項(xiàng)的規(guī)律．