Question

7．△ABC中，$BC=4，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=5$，則△ABC的面積的最大值為6．

Answer 1

分析 根據向量數量積的定義結合三角形的面積公式，以及余弦定理消去cosA，結合基本不等式的應用進行求解即可．

解答 解：設A、B、C所對邊分別為a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，得bccosA=5      ①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{25}{{b}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16②，
由①②消掉cosA得b²+c²=26，所以b²+c²≥2bc，bc≤13，當且僅當b=c=$\sqrt{13}$時取等號，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{1{3}^{2}-25}$=6，
故△ABC的面積的最大值為6，
故答案為：6．

點評 本題考查平面向量數量積的運算、三角形面積公式不等式求最值等知識，綜合性較強，有一定難度．