Question

1．函數f（x）=ax³+bx²-c，當x=1時，f（x）取得的極值-3-c．  
 （1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）若對于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：求導f′（x）=3ax²+2bx，由f（x）在x=1時取得極值3，$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解方程組即可求得a，b的值；
（2）求導f′（x）=-8x²+18x=18x（x-1），令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，則f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區間，f′（x）＜0，求得函數f（x）單調遞減區間；
（3）由題意可知：6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，由函數的單調性可知：當x=1時，f（x）_min=-3-c，因此-3-c≥-2c²，則2c²-c-3≥0，即可求得c的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，求導f′（x）=3ax²+2bx，
∵f（x）在x=1時取得極值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解得：a=6，b=-9，
a，b的值分別為6，-9；
故f（x）=6x³-9x²-c；
（2）由（1）可知：f（x）=6x³-9x²-c，
求導f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，
當x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
∴函數f（x）的單調遞增區間：（-∞，0）和（1，+∞）；單調遞減區間是（0，1）；
當x=0時，取極大值，f（0）=-c，當x=1時取極小值，f（1）=-3-c；
∴函數f（x）的極大值為-c，極小值-3-c；
（3）由f（x）≥-2c²對任意x＞0恒成立，6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，
∵當x=1時，f（x）_min=-3-c，
∴-3-c≥-2c²，整理得：2c²-c-3≥0，
解得：c＞$\frac{3}{2}$，c≤-1．
∴c的取值范圍是（-∞，-1]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數研究函數的單調性及最值，考查不等式恒成立，考查計算能力，屬于中檔題．