Question

6．設{a_n}是公比小于4的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．已知a₁=1，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=lna_3n+1，n=12…求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．b_n=lna_3n+1=ln2³ⁿ=3nln2．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q＜4，∵a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列．
∴2×3a₂=a₁+3+a₃+4，∴6q=1+7+q²，解得q=2．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=lna_3n+1=ln2³ⁿ=3nln2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=3ln2×（1+2+…+n）
=$\frac{3n（n+1）}{2}$ln2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．