Question

3．已知定義在R上的偶函數f（x），且在（0，+∞）單調遞減，如果實數t滿足$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$，求t的取值范圍$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

Answer 1

分析 根據偶函數的性質和對數的運算性質化簡不等式，由偶函數的單調性和條件等價轉化不等式，由絕對值不等式的解法和對數函數的單調性，求出t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，且$f（ln\frac{1}{t}）=f（-lnt）$，
∴$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$化為：2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1），
∵偶函數f（x）在（0，+∞）單調遞減，
∴f（|lnt|）≤f（1），則|lnt|≥1，
解得$0＜t≤\frac{1}{e}$或t≥e，
∴t的取值范圍是$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$，
故答案為：$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

點評 本題考查了偶函數的性質和單調性，對數函數的運算性質，以及對數函數單調性的應用，考查轉化思想，化簡、變形能力．