Question

13．下列幾個命題：
①函數y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函數，但不是奇函數；
②“$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac≤0\end{array}$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③若函數y=Acos（ωx+ϕ）（A≠0）為奇函數，則ϕ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），則y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值為2$\sqrt{2}$．
其中正確的有②③．

Answer 1

分析 ①，函數y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0是偶函數，又是奇函數；
②，由二次函數的圖象可知；
③，當ϕ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）時，函數y=Acos（ωx+ϕ）=±Asinωx （A≠0）為奇函數；
④，x∈（0，π），因為sinx∈（0，1]，∴y=sinx+$\frac{2}{sinx}$不滿足均值不等式的適用條件（sinx=$\sqrt{2}$）．

解答 解：對于①，函數y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0是偶函數，又是奇函數，故錯；
對于②，由二次函數的圖象可知，“$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac≤0\end{array}$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件，故正確；
對于③，若ϕ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）；則函數y=Acos（ωx+ϕ）=±Asinωx （A≠0）為奇函數，故正確；
對于④，已知x∈（0，π），因為sinx∈（0，1]，∴y=sinx+$\frac{2}{sinx}$不滿足均值不等式的適用條件（x=$\sqrt{2}$），故錯．
故答案為：②③．

點評 本題考查了命題真假的判斷，涉及到大量的函數知識，屬于基礎題．