Question

3．拋物線C：x²=2py（p＞0）的通徑為4，正三角形一個頂點是原點O，另外兩點A，B也在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求正三角形OAB邊長．

Answer 1

分析 （1）拋物線的通徑為2p=4，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）求出A的坐標，即可得到OA的長．

解答 解：（1）∵拋物線的通徑為2p=4，∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y    （5分）
（2）∵△AOB為正三角形．由拋物線的幾何性質知：OA，OB關于y軸對稱
∴設直線OA的方程為y=$\sqrt{3}x$，由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$得 x²=4$\sqrt{3}x$，（8分）
∴x_A=4$\sqrt{3}$my_A=12，（10分）
∴|OA|=8$\sqrt{3}$      （14分）

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．