Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C和拋物線y²=x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）經過橢圓C右焦點的直線l和橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{BP}$，其中O為坐標原點，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$知，即a=$\sqrt{2}$c，則b=c，設a=2λ，b=c=$\sqrt{2}$λ，λ＞0，將M（c，$\sqrt{c}$），代入，即可求得λ的值，求得橢圓C的標準方程；
（2）由題意可知則$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（x₀-x₂，y₀-y₂），$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{BP}$，即（x₁，y₁）=2（x₀-x₂，y₀-y₂），由于A，B，P均在橢圓x²+2y²=8上，則$（\frac{1}{2}{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+2（\frac{1}{2}{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=8$，整理可得：x₁x₂+2y₁y₂=-2，設直線l方為x=my+2，代入橢圓方程，由韋達定理可知代入可知：2-$\frac{8{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$=0，解得m的值，直線l的斜率為$\frac{1}{m}$．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$c，
由b²=a²-c²，則b=c，
設a=2λ，b=c=$\sqrt{2}$λ，λ＞0，
橢圓C和拋物線y²=x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點，
∴M（c，$\sqrt{c}$），代入橢圓中得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{c}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2λ}$=1，解得：λ=$\sqrt{2}$，∴a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（x₀-x₂，y₀-y₂），
由$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{BP}$，
∴（x₁，y₁）=2（x₀-x₂，y₀-y₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{1}+{x}_{2}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{2}{y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，
由于A，B，P均在橢圓x²+2y²=8上，
∴${x}_{1}^{2}+2{y}_{1}^{2}=8$①，${x}_{2}^{2}+2{y}_{2}^{2}=8$②，$（\frac{1}{2}{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+2（\frac{1}{2}{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=8$③；
由③可知：$\frac{1}{4}$（${x}_{1}^{2}+2{y}_{1}^{2}$）+（${x}_{2}^{2}+2{y}_{2}^{2}$）+（x₁x₂+2y₁y₂）=8，
將第①②代入上式得：x₁x₂+2y₁y₂=-2，④
由直線l的斜率不為零，設直線l方為x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²+4my-4=0，
由韋達定理y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，
將④變形為：（my₁+2）（my₂+2）+2y₁y₂=-2，
即（m²+2）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+6=0，
∴2-$\frac{8{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$=0，解得：m²=$\frac{2}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵直線的斜率k=$\frac{1}{m}$=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故直線l的斜率為±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，向量數量積的坐標表示，韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．