Question

9．已知邊長為$8\sqrt{3}$的正三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知圓過定點D（0，2），圓心M在拋物線C上運動，且圓M與x軸交于A，B兩點，設|DA|＜|DB|，求$\frac{{|{DA}|}}{{|{DB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得此正三角形的另外兩個頂點為（$±4\sqrt{3}$，12），代入拋物線方程解得p即可得出．
（2）設M（a，b），則a²=4b．半徑R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，可得⊙M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0，解得x，可得A，B．利用兩點之間的距離公式可得：|DA|＜|DB|．代入利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意可得此正三角形的另外兩個頂點為（$±4\sqrt{3}$，12），
代入拋物線方程可得48=2p×12，解得p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設M（a，b），則a²=4b．半徑R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
可得⊙M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0，可得x²-2ax+4b-4=0，
∴x²-2ax+a²-4=0，解得x=a±2，
不妨設A（a-2，0），B（a+2，0）．
∴|DA|=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，|DB|=$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$，
∵|DA|＜|DB|，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$＜$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$，
∴a＞0，
∴$\frac{{|{DA}|}}{{|{DB}|}}$=$\sqrt{\frac{（a-2）^{2}+4}{（a+2）^{2}+4}}$=$\sqrt{1-\frac{8a}{{a}^{2}+4a+8}}$=$\sqrt{1-\frac{8}{a+\frac{8}{a}+4}}$≥$\sqrt{1-\frac{8}{2\sqrt{\frac{8}{a}•a}+4}}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，當且僅當a=2$\sqrt{2}$時，取的最小值，

點評 本題考查了拋物線與圓的標準性質及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．