Question

19．設集合M={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}，集合N={x|x²+2x-3＞0}，若M∩N中恰有一個整數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（0，\frac{3}{4}）$
• C． $[\frac{3}{4}，\frac{4}{3}）$
• D． $[\frac{3}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 先求解一元二次不等式化簡集合M，N，然后分析集合B的左端點的大致位置，結合M∩N中恰含有一個整數得集合B的右端點的范圍，列出無理不等式組后進行求解．

解答 解：由x²+2x-3＞0，得：x＜-3或x＞1．
由x²-2ax-1≤0，得：a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤x≤a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$．
所以，N={x|x²+2x-3＞0}={x|x＜-3或x＞1}，
M={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}={x|a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤x≤a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$}．
因為a＞0，所以a+1＞$\sqrt{{a}^{2}+1}$，則a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＞-1且小于0．
由M∩N中恰含有一個整數，所以2≤a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜3．
即$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{{a}^{2}+1}≥2}\\{a+\sqrt{{a}^{2}+1}＜3}\end{array}\right.$，．
解得$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$．
所以，滿足A∩B中恰含有一個整數的實數a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）．
故選C．

點評 本題考查了交集及其運算，考查了數學轉化思想，訓練了無理不等式的解法，求解無理不等式是該題的一個難點．此題屬中檔題．