Question

9．已知函數f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．
（I）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x+y+b=0，求a，b的值；
（II）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題知，$f'（x）=（2a-1）x+\frac{1}{x}$，又f'（1）=-2，從而求出a=-1，由此能求出b=$\frac{1}{2}$．
（II）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，則g（x）的定義域為（0，+∞）．在區間（1，+∞）上函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立．由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）∵f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R），
∴由題知，$f'（x）=（2a-1）x+\frac{1}{x}$，…（1分）
又f'（1）=-2，即2a=-2，∴a=-1．…（2分）
∴$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+lnx$，∴$f（1）=-\frac{3}{2}$．
∴切點為$（1，-\frac{3}{2}）$，代入切線方程得：$2×1-\frac{3}{2}+b=0$，
解得b=$\frac{1}{2}$．
∴a=-1，$b=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（II）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，則g（x）的定義域為（0，+∞）．
在區間（1，+∞）上函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方
等價于g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立．
∵$g'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$，…（5分）
令g'（x）=0，得x₁=1或${x_2}=\frac{1}{2a-1}$．…（6分）
①若$\frac{1}{2}＜a＜1$，則$\frac{1}{2a-1}＞1$．
∴在$（\frac{1}{2a-1}，+∞）$上有g'（x）＞0，在$（1，\frac{1}{2a-1}）$上有g'（x）＜0．
∴g（x）在$（1，\frac{1}{2a-1}）$上遞減，在$（\frac{1}{2a-1}，+∞）$上遞增．
∴$g（x）≥g（\frac{1}{2a-1}）$，
∴與g（x）＜0在區間（1，+∞）上恒成立相背，不符合題意．…（8分）
②若a≥1時，則$0＜\frac{1}{2a-1}≤1$，∵在（1，+∞）上有g'（x）＞0，
∴g（x）在區間（1，+∞）遞增．
∴g（x）≥g（1），∴不符合題意．…（10分）
③若$a≤\frac{1}{2}$，則2a-1≤0，∵在區間（1，+∞）上有g'（x）＜0，則g（x）在區間（1，+∞）遞減．
∴g（x）＜g（1）在（1，+∞）恒成立，要使g（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
只需$g（1）=-a•\frac{1}{2}≤0$．∴$a≥-\frac{1}{2}$，∴$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．
綜上，當$a∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．…（12分）

點評 本題考查實數值的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．