Question

14．已知x，y均為正實數，則$\frac{x}{2x+y}$+$\frac{y}{x+2y}$的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用換元法將所求轉化為利用基本不等式求最大值．

解答 解：設2x+y=m，x+2y=n，
則x=$\frac{2}{3}m-\frac{1}{3}n$，y=$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}m$，（m＞0，n＞0）
∴$\frac{x}{2x+y}$+$\frac{y}{x+2y}$=$\frac{4}{3}-\frac{1}{3}$（$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$）≤$\frac{4}{3}-\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，
當且僅當m=n時取等號；
故選：B

點評 本題考查換元法、基本不等式的運用，正確換元是關鍵．