Question

4．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c（a＞0），曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1
（1）求b，c的值；
（2）若函數f（x）有且只有兩個不同的零點，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的導數f'（x），再求f（0），由題意知f（0）=1，f'（0）=0，從而求出b，c的值；
（2）求導數，利用f（a）=0，即可求出實數a的值．

解答 解：（1）因為函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，所以導數f'（x）=x²-ax+b，
又因為曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1，
所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．
（2）由（1），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
∵函數f（x）有且只有兩個不同的零點，
所以f（0）=0或f（a）=0，
∵f（0）=1，
∴f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}{a}^{3}$+1=0，
∴a=$\root{3}{6}$．

點評 本題主要考查導數的概念及應用：求極值，解題中必須注意過某點的切線與在某點處的切線的區別，本題就是一個很好的例子，同時考查了字母的運算能力，是一道中檔題．