Question

10．已知函數f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函數g（x）=2x-f（x），求函數g（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒為單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數g（x）=x-x³+x²-2，的導函數，利用導函數求出原函數的單調區間，進而求出其極大值、極小值；
（Ⅱ）先求出其導函數，把函數f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒為單調遞增函數，轉化為其導函數的最小值恒大于等于0，利用二次函數在固定區間上求最值的方法求出導函數的最小值，再與0比即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1，f（x）=x³-x²+x+2，g（x）=x-x³+x²-2，求導，g′（x）=-3x²+2x+1，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$，x=1，

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	-$\frac{59}{27}$	↗	-1	↘

∴當x=1時，取極大值，極大值為：g（1）=-1，當x=-$\frac{1}{3}$時，取極小值，極小值為g（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax+1的對稱軸為x=-$\frac{a}{3}$
①若-$\frac{a}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，即a≤1時，要使f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上單調遞增，則有
△=4a²-12≤0，則-$\sqrt{3}$$≤a≤\sqrt{3}$
∴-$\sqrt{3}$≤a≤1
②若-$\frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}$，即a＞1時，由題知f（-$\frac{1}{3}$）≥0，則a≤2
∴1＜a≤2，
綜上可知：a的取值范圍，（-$\sqrt{3}$，2）．

點評 本題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值，屬于中檔題．