Question

12．已知函數f（x）=x-lnx，g（x）=x³+x²（x-lnx）-16x．
（1）求f（x）的單調區間及極值；
（2）求證：g（x）＞-20．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區間，令導函數小于0得到函數的遞減區間；
（2）求出g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），設h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），根據函數的單調性求出h（x）的最小值，從而證出結論即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
由f′（x）=0得x=1．
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；      
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；    
∴x=1是函數f（x）的極小值點，
故f（x）的極小值是1．
（2）證明：由（1）得：f（x）≥1，
∴g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），當且僅當x=1時“=”成立，
設h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），
則h′（x）=（3x+8）（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴h（x）_min=h（2）=-20，
∴h（x）≥-20，當且僅當x=2時“=”成立，
因取條件不同，
故g（x）＞-20．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．