Question

14．如圖所示，ABCD是長為8，寬為4的矩形，設點H在直線AD上運動，BH的垂直平分線為m，過點H且與BD平行（或重合）的直線與直線m相交于點M，則點M的軌跡為（　　）

• A． 圓的一部分
• B． 橢圓的一部分
• C． 雙曲線的一部分
• D． 拋物線的一部分

Answer 1

分析 以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，建立平面直角坐標系，設H（8+a，4），直線BH的方程為y=$\frac{4}{8+a}x$，m的方程為y-2=-$\frac{8+a}{4}$（x-$\frac{8+a}{2}$），HE的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-a），由此能求出M的軌跡為雙曲線的一部分．

解答 解：以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設H（8+a，4），直線BH的方程為y=$\frac{4}{8+a}x$，
∴BH的垂直平分線m的方程為y-2=-$\frac{8+a}{4}$（x-$\frac{8+a}{2}$），①，
∵過H平行于BD的直線HE的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-a），
解得a=x-2y，②，
將②代入①，整理，得：$\frac{（y-20）^{2}}{380}-\frac{{x}^{2}}{1520}=1$，（x＞0，y＞0），
∴M的軌跡為雙曲線的一部分．
故選：C．

點評 本題考查點的軌跡的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線方程性質和數形結合思想的合理運用．