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11.某企業準備投入適當的廣告費對產品進行促銷,在一年內預計銷售Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數關系為Q=$\frac{3x+1}{x+1}$(x≥0).已知生產此產品的年固定投入為3萬元,每生產1萬元此產品仍需再投入32萬元,若每件銷售價為“平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和.
(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數;
(2)當年廣告費投入多少萬元時,企業年利潤最大?最大利潤為多少?

分析 (1)根據生產此產品的年固定投入為3萬元,每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元,若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和,可建立函數關系式;
(2)利用換元法,再借助于基本不等式,即可求得最值.

解答 解:(1)由題意可得,產品的生產成本為(32Q+3)萬元,
每萬件銷售價為$\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%$,(2分)
∴年銷售收入為$({\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%})•Q$=$\frac{3}{2}(32Q+3)+\frac{1}{2}x$,(4分)
∴年利潤$W=\frac{3}{2}(32Q+3)+\frac{1}{2}x-(32Q+3)-x$=$\frac{1}{2}(32Q+3-x)=\frac{{-{x^2}+98x+35}}{2(x+1)}(x≥0)$.(6分)
(2)令x+1=t(t≥1),則$W=\frac{{-{{(t-1)}^2}+98(t-1)+35}}{2t}=50-({\frac{t}{2}+\frac{32}{t}})$.(8分)
∵t≥1,∴$\frac{t}{2}+\frac{32}{t}≥2\sqrt{\frac{t}{2}•\frac{32}{t}}=8$,即W≤42,(10分)
當且僅當$\frac{t}{2}=\frac{32}{t}$,即t=8時,W有最大值42,此時x=7.
即當年廣告費為7萬元時,企業利潤最大,最大值為42萬元.(12分)

點評 本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用,利用利潤=收入-成本,得到年利潤的表達式是解答本題的關鍵.

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