Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左準線方程是x=-2，設O為原點，點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△AOB面積取得最小值時，線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，聯立求得a和c的值，由b²=a²-c²，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）當k=0時，則A（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0），B（0，2），此時△AOB面積為$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$，當k≠0時，設直線OA方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式，根據基本不等式的性質求得△AOB面積取得最小值，即可求得k的值，求得線段AB的長度．

解答 解：（1）設橢圓的半焦距為c，則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，準線方程：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得：c=1，a=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=1，
橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）由題意，直線OA的斜率存在，設直線OA的斜率為k，
若k=0時，則A（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0），B（0，2），
此時△AOB面積為$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$．（6分）
若k≠0時，則直線OA：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+2k²）x²-2=0，
由韋達定理可知：可得丨OA丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，（8分）
直線OB：y=-$\frac{1}{k}$x與y=2聯立得：B（-2k，2），則OB=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，（10分）
S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\sqrt{2}$•?$\frac{1+{k}^{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
令t=$\sqrt{1+2{k}^{2}}$＞1，（12分）
則S_△OAB=$\sqrt{2}$•$\frac{1+\frac{{t}^{2}-1}{2}}{t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）＞$\sqrt{2}$，
∴S_△OAB的最小值為$\sqrt{2}$，在k=0時取得，此時AB=$\sqrt{6}$…（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，三角形面積公式及基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．