Question

已知（a，b）是關于x的一元二次不等式mx²-2x+1＜0的解集，則2a+b的最小值為（　　）

• A、3+2

  2

• B、

  3+2 2

  2

• C、5+2

  2

• D、

  5+2 2

  2

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：導數的概念及應用,不等式的解法及應用

分析：根據題意，求出m的取值范圍以及a、b的值，得出2a+b的表達式；
再構造函數，求出2a+b的最小值即可．

解答： 解：∵（a，b）是不等式mx²-2x+1＜0的解集，
∴a，b是方程mx²-2x+1=0的兩個實數根，
∴

m＞0 △=4-4m＞0

；
解得0＜m＜1，
解方程得a=

1- 1-m

m

，b=

1+ 1-m

m

；
∴2a+b=

3- 1-m

m

=

3

m

-

( 1 m )2- 1 m

；
設

1

m

=t（t＞1），
∴f（t）=3t-

t2-t

；
∴f′（t）=3-

1

2

•

1

t2-t

•（2t-1）=3-

2t-1

2 t2-t

，
令f′（t）=0，
解得t=

4+3 2

8

，或t=

4-3 2

8

（不合題意，舍去）；
∴當t=

4+3 2

8

時，f（t）取得最小值

3+2 2

2

，
∴2a+b的最小值為

3+2 2

2

．
故選：B．

點評：本題考查了導數的概念與應用的問題，也考查了不等式的解法與應用的問題，考查了構造函數的思想方法，是綜合性題目．