Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，F₂是其右焦點，F₁為左焦點也是拋物線y²=-4x的焦點，過F₁的直線L與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點，當直線L與x軸垂直時

|CD|

|AB|

=2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求

F1A

•

F2B

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線方程和題意求橢圓中c的值，根據橢圓與拋物線的通徑比列出a，b關系式，求出a、b的值即可；
（2）設A、B的坐標和直線l方程，并對直線l的斜率進行分類討論，直線l方程與橢圓方程聯立消去y，由韋達定理得x₁x₂與x₁+x₂，代入

F2A

•

F2B

化簡得到關于k的式子，利用分離常數法、函數的性質求出其范圍，即可

F2A

•

F2B

的范圍，進而求出最值．

解答： 解：（1）由拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），得橢圓的左焦點F₁為（-1，0），即c=1，
因為過F₁的直線l與x軸垂直，所以AB為橢圓通徑，CD為拋物線通徑，
則|AB|=

2b2

a

，|CD|=2p=4，所以

|CD|

|AB|

=

4

2b2 a

=2

2

，即b2=

2

2

a，
因為a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當直線l斜率存在時，設方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

得，（2k²+1）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
則△=（4k²）²-4（2k²+1）×2（k²-1）=8k²+8＞0，
x₁+x₂=-

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2(k2-1)

2k2+1

，
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²
=（1+k²）×

2(k2-1)

2k2+1

+（k²-1）×（-

4k2

2k2+1

）+1+k²
=

7k2-1

2k2+1

=

7 2 (2k2+1)- 9 2

2k2+1

=

7

2

-

9

2(2k2+1)

，
因為k²≥0，所以-1≤

7

2

-

9

2(2k2+1)

＜

7

2

，
所以

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

），
②當直線l斜率不存在時，可得A（-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此時

F2A

•

F2B

=

7

2

，
綜上得，

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

]，
所以

F2A

•

F2B

的最大值和最小值分別為

7

2

、-1．

點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程，向量、直線與圓錐曲線的綜合應用，以及對直線的斜率進行討論，這是易忘的地方，考查利用韋達定理達到設而不求思想和計算化簡能力．