Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABC，則：
（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求平面APB與平面CPB夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由余弦定理得BD=

3

AD，從而BD⊥AD，由線面垂直得BD⊥PD，由此能證明PA⊥BD．
（Ⅱ）以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD，
故PA⊥BD．
（Ⅱ）解：如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，1），

AB

=（-1，

3

，0），

PB

=（0，

3

，-1），

BC

=（-1，0，0），
設平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AB =-x+ 3 y=0 n • PB = 3 y-z=0

，取y=1，得

n

=（

3

，1，

3

），
設平面PBC的法向量為

m

=（a，b，c），則

m • PB = 3 b-c=0 m • BC =-a=0

，
取b=1，得

m

=（0，1，

3

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+3

7 •2

=

2 7

7

，
∵二面角A-PB-C的平面角是鈍角，∴二面角A-PB-C的余弦值為-

2 7

7

．

點評：本題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．