Question

已知數列{a_n}各項為正，S_n為其前n項和，滿足2S_n=3a_n-3，數列{b_n}為等差數列，且b₂=2，b₁₀=10，求數列{a_n+b_n}的前n項和T_n=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列遞推式求得數列{a_n}為等比數列并求得首項和公比，得到通項公式；由已知求出等差數列的公差，得到等差數列的通項公式，然后分組求和得答案．

解答： 解：由2S_n=3a_n-3，取n=1得，2S₁=2a₁=3a₁-3，即a₁=3．
當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，則2a_n=3a_n-3a_n-1，a_n=3a_n-1（n≥2），
∴數列{a_n}是以3為首項，以3為公比的等比數列，
則an=3n．
在等差數列{b_n}中，由b₂=2，b₁₀=10，得d=

b10-b2

10-2

=

10-2

10-2

=1．
∴b_n=b₂+（n-2）d=2+n-2=n．
∴數列{a_n+b_n}的前n項和T_n=（3¹+2²+…+3ⁿ）+（1+2+…+n）
=

3(1-3n)

1-3

+

(1+n)n

2

=

3n+1-3

2

+

n2+n

2

=

3(3n-1)+n2+n

2

．
故答案為：

3(3n-1)+n2+n

2

．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等差數列和等比數列的前n項和，是中檔題．