Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1

x-2

，其中x∈[3，5]．
（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f（x）在[3，5]上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）結(jié)合單調(diào)性，求函數(shù)f（x）=

x+1

x-2

在區(qū)間[3，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論．
（2）由單調(diào)性求最值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1-2

-

x2+1

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

；
∵x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，
∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＞0；
故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函數(shù)f（x）在[3，5]上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
函數(shù)f（x）=

x+1

x-2

在區(qū)間[3，5]上的最大值為f（3）=

3+1

3-2

=4；
最小值為f（5）=

5+1

5-2

=2．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法，同時考查了函數(shù)的最值，屬于中檔題．