Question

設函數f（x）=ax²+bx+

3

2

（a，b為實數且a＞0）
（1）若f（1）=1，且對任意實數x的均有f（x）≥1成立，求f（x）表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，若g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的值；
（3）若函數f（x）的定義域為[m，n]，值域為[m，n]（m＜n），則稱函數f（x）是[m，n]上的“方正”函數，設f（x）是[1，2]上的“方正”函數，求常數b的值．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的值域,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據已知條件容易得到，ax2+bx+

1

2

≥0對任意x恒成立，所以有△=b²-2a≤0，而由f（1）=1得到a=-b-

1

2

，帶入上式即可求出b，a，從而求出f（x）=

1

2

x2-x+

3

2

；
（2）求出g（x）=

1

2

x2-(k+1)x+

3

2

，所以通過題設可得k+1≤-2，或k+1≥1，從而可求出k的取值范圍；
（3）f（x）的對稱軸為x=-

b

2a

，所以討論對稱軸和區間的關系：當-

b

2a

≤1時，則有

a+b+ 3 2 =1 4a+2b+ 3 2 =2

；當1＜-

b

2a

＜2時，則有

6a-b2 4a =1 a+b+ 3 2 =2

，或

6a-b2 4a =1 4a+2b+ 3 2 =2

；當-

b

2a

≥2時，

a+b+ 3 2 =2 4a+2b+ 3 2 =1

，解出a，b，并驗證是否滿足-

b

2a

及a＞0即可得出b．

解答： 解：（1）由f（x）≥1恒成立得：
ax2+bx+

1

2

≥0對任意x恒成立；
∴△=b²-2a≤0    ①；
f（1）=1得，a+b=-

1

2

；
∴a=-b-

1

2

帶入①得，b²+2b+1≤0；
即（b+1）²≤0；
∴b=-1，a=

1

2

；
∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

；
（2）g（x）=

1

2

x2-(k+1)x+

3

2

，該函數對稱軸為x=k+1；
∵x∈[-2，2]時g（x）是單調函數；
∴k+1≤-2，或k+1≥1；
∴實數k的取值范圍為（-∞，-3]∪[0，+∞）；
（3）①若-

b

2a

≤1，則f（x）在[1，2]上單調遞增；
∴

a+b+ 3 2 =1 4a+2b+ 3 2 =2

；
解得a=

3

4

，b=-

5

4

，-

b

2a

=

5

6

＜1，即存在這種情況；
②若1＜-

b

2a

＜2，則：

6a-b2 4a =1 f(1)=a+b+ 3 2 =2

（Ⅰ）或

6a-b2 4a =1 f(2)=4a+2b+ 3 2 =2

（Ⅱ）；
解（Ⅰ）得，b=-1±

2

，解（Ⅱ）得b=

-1± 2

2

，經驗證都不滿足1＜-

b

2a

＜2，所以這種情況不存在；
③若-

b

2a

≥2，則f（x）在[1，2]上單調遞減；
∴

f(1)=a+b+ 3 2 =2 f(2)=4a+2b+ 3 2 =1

；
解得a=-

3

4

，不符合a＞0，所以這種情況不存在；
綜上得b=-

5

4

．

點評：考查一元二次不等式的解集為R時判別式△的取值情況，二次函數的單調性，二次函數的對稱軸，以及二次函數的值域，二次函數的最值．