Question

已知方程a^2x+1=x²+x有一實數解x₀，且x∈（

1

4

，

1

2

），求a的范圍．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：分離參數得出a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），構造函數f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）是單調遞增函數，
求出最值，運用2個函數圖象的交點問題求解即可．

解答： 解：∵a^2x+1=x²+x，
∴a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），
令f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）根據函數解析式判斷f（x）是單調遞增函數，
f（

1

4

）=（

5

16

） 

2

3

，
f（

1

2

）=

3

2

，
∴y=a與f（x）=

2x+1	x2+x

=（x²+x） 

1

2x+1

，x∈（

1

4

，

1

2

）有1個交點，
∴（

5

16

） 

2

3

＜a＜

3

2

，

點評：本題考查了復雜函數的單調性，運用分離參數，構造函數，運用單調性判斷范圍，即可得出所求字母的范圍，屬于中檔題．