Question

在平面直角坐標系中，已知曲線C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數），經過坐標變換

x′=2x y′= 3 y

得到曲線C₂．A，B是曲線C₂上兩點，且OA⊥OB．
（1）求曲線C₁，C₂的普通方程；
（2）求點O到直線AB的距離．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）首先，根據坐標變換，得到曲線C的參數方程，然后，消去參數，得到其普通方程；
（2）首先，建立極坐標系，寫出橢圓的極坐標方程，然后，利用點到直線的距離公式求解和化簡即可．

解答： 解：（1）根據曲線C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數），得
x²+y²=1，
經過坐標變換

x′=2x y′= 3 y

得到曲線C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長度單位，建立極坐標系，
∴

ρ2cos2θ

a2

+

ρ2sin2θ

b2

=1，
∴ρ2=

1

cos2θ a2 + sin2θ b2

=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

設A（ρ₁，θ） B（ρ₂，θ+

π

2

），則
|AB|=

ρ12+ρ22

∴點O到直線AB的距離

|OA||OB|

|AB|

，
=

ρ1ρ2

ρ12+ρ22

=

1

1 ρ12 + 1 ρ22

=

ab

a2+b2

，
∴點O到直線AB的距離

ab

a2+b2

．

點評：本題重點考查了坐標變換、曲線C的參數方程、極坐標方程的應用等知識，屬于中檔題．