Question

已知函數f（x）=ln x-

a

x

（1）若f（x）存在最小值且最小值為2，求a的值；
（2）設g（x）=lnx-a，若g（x）＜x²在（0，e]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，分類討論，確定函數的單調性，利用f（x）存在最小值且最小值為2，求a的值；
（2）分離參數，可得a＞x²+lnx，構造h（x）=x²+lnx，確定函數h（x）在（0，e]上單調遞增，求出最大值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）求導數，f′（x）=

x+a

x2

（x＞0），
∴①當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上遞增，∴函數f（x）[1，e]上最小值為f（1）=-a=2，
∴a=-2與a≥0矛盾；
②當a＜0時，f（x）在（0，-a）上遞減，（-a，+∞）上遞增，∴函數f（x）[1，e]上最小值為f（-a）=ln（-a）+1=2，解得a=-e；
（2）g（x）＜x²，即a＞x²+lnx
構造h（x）=x²+lnx，則h′（x）=2x+

1

x

在（0，e]上，h′（x）=2x+

1

x

＞0，∴函數h（x）在（0，e]上單調遞增，
∴x=e時，函數h（x）的最大值為e²+lne，
∴a＞e²+lne．

點評：本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，考查函數的單調性，正確分離參數求最值是關鍵．