Question

如圖，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），過點F任作兩條弦AC，BD，且

AC

•

BD

=0，E，G分別為AC、BD的中點
（1）寫出拋物線C的方程；
（2）設過點（3，0）的直線EG交拋物線C于M、N兩點，試求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

p

2

=1，由此能求出拋物線C的方程．
（2）當直線EG的斜率不存在時，直線EG的方程為x=3，此時|MN|=4

3

；當直線EG的斜率k存在時，設直線EG的方程為y=k（x-3），聯立

y=k(x-3) y2=4x

，得k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，由此利用韋達定理和弦長公式能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），
∴

p

2

=1，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）當直線EG的斜率不存在時，直線EG的方程為x=3，
交拋物線于M（3，2

3

），N（3，-2

3

），此時|MN|=4

3

，
當直線EG的斜率k存在時，由題意知k≠0，
設直線EG的方程為y=k（x-3），
聯立

y=k(x-3) y2=4x

，得k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，
∵過點（3，0）的直線EG交拋物線C于M、N兩點，
∴

k2≠0 (6k2+4)2-36k4＞0

，∴k≠0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

6k2+4

k2

，x₁x₂=9，
|MN|=

(1+k2)[(6+ 4 k2 )2-36]

=4

(1+k2)( 3 k2 + 1 k4 )

=4

1 k4 + 4 k2 +3

=4

( 1 k2 +2)2-1

＞4

3

，
∴|MN|的最小值為4

3

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查弦長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和弦長公式的合理運用．