Question

已知一企業生產某產品的年固定成本為10萬元，每生產千件該產品需另投入2.7萬元，設該企業年內共生產此種產品x千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為f（x）萬元，且f（x）=

10.8- 1 30 x2(0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2 (x＞10)

．
（Ⅰ）寫出年利潤P（萬元）關于產品年產量x（千件）的函數關系式；
（Ⅱ）年產量x為多少千件時，該企業生產此產品所獲年利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,分段函數的應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當0＜x≤10時，P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；當x＞10時，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；寫成分段函數即可；
（Ⅱ）分0＜x≤10與10＜x時討論函數的最大值，從而求最大值點即可．

解答： 解：（Ⅰ）當0＜x≤10時，
P=xf（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
當x＞10時，P=xf（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x；
故P=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

；
（Ⅱ）①當0＜x≤10時，由P′=8.1-

x2

10

=0解得，x=9；
故當x=9時有最大值P=8.1×9-

93

30

-10=38.6；
②當10＜x時，由P=98-（

1000

3x

+2.7x）≤98-2

1000 3 ×2.7

=38；
（當且僅當

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

時，等號成立）；
綜上所述，當x=9時，P取得最大值．
即當年產量x為9千件時，該企業生產此產品所獲年利潤最大．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了導數的應用與基本不等式的應用，屬于中檔題．