Question

已知命題P：函數f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數，命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）-4＜0對一切x∈R都成立．若“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題P：函數f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數，利用二次函數的單調性可得

1

2

≤

a

2

，解得a即可；命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0對一切x∈R都成立．當a=2時，不等式化為-4＜0，滿足條件；當a≠2時，必須滿足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得即可．由于“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：∵命題P：函數f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是減函數，∴

1

2

≤

a

2

，解得a≥1；
命題q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0對一切x∈R都成立．當a=2時，不等式化為-4＜0，滿足條件；當a≠2時，必須滿足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．綜上可得：-2＜a≤2．
∵“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
∴p與q必然一真一假．
當p真q假時，可得

a≥1 a≤-2或a＞2

，解得a＞2；
當q真p假時，可得

a＜1 -2＜a≤2

，解得-2＜a＜1．
綜上可得：實數a的取值范圍是（-2，1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了二次函數的單調性、一元二次不等式的解集與判別式的關系、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．