Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱A₁B₁中點，P、Q分別為棱AD，DC上的動點，則四面體PEA₁Q體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：根據圖形得出S △A1EQ=

1

2

×1×2

2

=

2

，判斷出當P到面A₁EQ的距離最大時，在A與P重合，求出距離的最大值，運用體積公式即可．

解答： 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱A₁B₁中點，P、Q分別為棱AD，DC上的動點，Q到直線A₁E的距離為定值2

2

，
∴S △A1EQ=

1

2

×1×2

2

=

2

，
∴
即d=

1

2

AD1=

1

2

×2

2

=

2

，
∴四面體PEA₁Q體積的最大值為

1

3

×

2

×

2

=

2

3

故答案為：

2

3

點評：本題考查了空間幾何題的性質，求解體積最大值的問題轉化為面積，距離的最值問題，屬于中檔題，有一定的難度．