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傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖所示的三角形數:

將三角形數1,3,6,10,…記為數列{an},將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn},可以推測:
(Ⅰ)b2014是數列{an}中的第
 
項;
(Ⅱ)若n為正偶數,則b1-b3+b5-b7+…+(-1)n-1b2n-1
 
.(用n表示)
考點:數列的求和,歸納推理
專題:等差數列與等比數列
分析:(I)將三角形數1,3,6,10,…記為數列{an},由a1=1,當n≥2時,an-an-1=n,利用“累加求和”可得an=
n(n+1)
2
.只有當n或n+1能夠被5整除時,an可被5整除,
因此數列{an},將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}為:a4,a5,a9,a10,…,可得b2014是數列{an}中的第
2014
2
×5
項.
(II)由(I)可得:b1-b3=a4-a9=
4×5
2
-
9×10
2
=-35,b5-b7=a14-a19,b9-b11=a24-a29,….可得b2n-3-b2n-1=a5n-6-a5n-1=-25n+15,
可得b1-b3+b5-b7+…+(-1)n-1b2n-1=-25×(2+4+…+2k)+15k(n=2k,k∈N*).
解答: 解:(I)將三角形數1,3,6,10,…記為數列{an},∵a1=1,當n≥2時,an-an-1=n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2

只有當n或n+1能夠被5整除時,an可被5整除,
因此數列{an},將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}為:a4,a5,a9,a10,…,
可得b2014是數列{an}中的第
2014
2
×5
=5035項.
(II)由(I)可得:b1-b3=a4-a9=
4×5
2
-
9×10
2
=-35,b5-b7=a14-a19,b9-b11=a24-a29,….
∴b2n-3-b2n-1=a5n-6-a5n-1=
(5n-6)(5n-5)
2
-
(5n-1)(5n-1+1)
2
=-25n+15,
∴b1-b3+b5-b7+…+(-1)n-1b2n-1=-25×(2+4+…+2k)+15k=-25k2-10k=-
25n2+20n
4
(n=2k,k∈N*).
故答案分別為:5035,-
25n2+20n
4
(n=2k,k∈N*).
點評:本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、整數的整除理論、分組求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知x∈(0,
π
2
)時,函數h(x)=
1+2sin2x
sin2x
的最小值為b,若定義在R上的函數f(c)滿足:對任意的x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-b成立,設M、N分別是f(x)在[-b,b]上的最大值與最小值,則M+N的值為(  )
A、
3
B、2
C、2
3
D、4
3

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x2
25
+
y2
16
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1
x2
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Q
10
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(1)求出a,b的值;
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-2x+140,(40≤x≤60)
-
1
2
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如圖所示,在直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,則點D到平面ACE的距離為(  )
A、
3
3
B、
2
3
3
C、
3
D、2
3

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π
4
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2
2
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A、p真q真B、p真q假
C、p假q真D、p假q假

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