Question

一個圓分別與圓x²+y²-2x+4y+1=0和直線2x+y+4

5

=0相切，求直徑最小時圓的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓

分析：由題意先確定已知的圓的圓心和半徑，再確定所求圓的圓心在過圓心（1，-2）與直線2x+y+4

5

=0垂直的直線上，所求半徑最小，再由點到直線的距離公式，求得所求圓的半徑，再設所求圓的圓心，由直線和圓相切的條件，列方程，解方程即可得到所求圓的方程．

解答： 解：圓x²+y²-2x+4y+1=0即為
（x-1）²+（y+2）²=4，則圓心為（1，-2），半徑為2，
∴過圓心（1，-2）與直線2x+y+4

5

=0垂直的直線方程為y+2=

1

2

（x-1），
即為x-2y-5=0，
當所求的圓的圓心在此直線上，圓的直徑最小．
又圓心（1，-2）到直線2x+y+4

5

=0的距離為

|2-2+4 5 |

4+1

=4，
則所求的圓的半徑為1，
設所求圓心坐標為（a，b）
則

|2a+b+4 5 |

5

=1，且a-2b-5=0，
解得a=1-

6 5

5

，b=-2-

3 5

5

．
則所求圓的方程為（x-1+

6 5

5

）²+（y-2-

3 5

5

）²=1．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，數形結合的思想，考查計算能力．