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函數f(x)是R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-x2+2x+a(a∈R).
(1)若函數f(x)在(0,+∞)上函數值均小于0,求實數a的取值范圍;
(2)是否存在實數a,使得函數f(x)在[-1,1]上單調遞增?若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由.
考點:利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的性質
專題:計算題,函數的性質及應用
分析:(1)當x>0時,f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+1+a;從而化恒成立問題為最值問題;
(2)假設存在實數a,使得函數f(x)在[-1,1]上單調遞增;則分析題意知只需使f(0)=-02+2×0+a≥0;從而解得.
解答: 解:(1)當x>0時,f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+1+a;
∵函數f(x)在(0,+∞)上函數值均小于0,
∴1+a<0;
∴a<-1;
(2)假設存在實數a,使得函數f(x)在[-1,1]上單調遞增;
∵函數f(x)是R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-x2+2x+a(a∈R).
∴f(x)在[-1,0)(0,1]上單調遞增;
故只需使f(0)=-02+2×0+a≥0;
解得,a≥0.
故a的取值范圍為[0,+∞).
點評:本題考查了函數的性質的應用及分段函數的單調性的判斷與應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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2
2
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2
2
t
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2
a
+
9
b
最小值
 

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