Question

已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數）．
（Ⅰ） 若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=

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，試求實數m值．
（Ⅱ） 設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）由曲線C的極坐標方程ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，可得x²+y²-4x=0．把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數）代入方程上述方程可得根與系數的關系，利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出；
（II）曲線C的方程可化為（x-2）²+y²=4，其參數方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），設M（x，y）為曲線C上任意一點，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，利用正弦函數的值域即可得出．

解答： 解：（I）由曲線C的極坐標方程ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²-4x=0．
把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數）代入方程上述方程可得：t2+

2

(m-2)t+m2-4m=0，
∴t₁+t₂=-

2

（m-2），t₁t₂=m²-4m．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2(m-2)2-4(m2-4m)

=

14

，解得m=1或3．
（II）曲線C的方程可化為（x-2）²+y²=4，其參數方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），
設M（x，y）為曲線C上任意一點，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴x+y的取值范圍是[2-2

2

，2+2

2

]．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數的應用、正弦函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．