Question

從極點O引定圓ρ=2cosθ的弦OP，延長OP到Q，使

OP

PQ

=

2

3

，求點Q的軌跡方程，并說明所求軌跡是什么圖形？

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：由圓ρ=2cosθ化為ρ²=2ρcosθ，可得（x-1）²+y²=1．由

OP

PQ

=

2

3

，可得

OP

=

2

5

OQ

，設Q（x，y），P（x₀，y₀），可得x0=

2

5

x，y0=

2

5

y，代入圓的方程即可得出．

解答： 解：由圓ρ=2cosθ化為ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
∵

OP

PQ

=

2

3

，∴

OP

=

2

5

OQ

，
設Q（x，y），P（x₀，y₀），
則x0=

2

5

x，y0=

2

5

y，
代入(x0-1)2+

y

2 0

=1，可得(

2

5

x-1)2+(

2

5

y)2=1，化為(x-

5

2

)2+y2=

25

4

．
∴點Q的軌跡方程為(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，表示以(

5

2

，0)為圓心，

5

2

為半徑的圓．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、向量運算、點的軌跡求法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．