Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，-1），且右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3．     
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩個點M，N，當|AM|=|AN|時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題目可以先確定b值的大小，然后根據焦點到直線的距離，列出方程可解出a值的大小，即可得出橢圓的標準方程；
（2）設P為弦MN的中點，將所得的橢圓方程與直線方程聯立，便可得出關于x的方程式，利用方程式存在解的條件可得m²＜3k²+1；由P為弦MN的中點，利用中點坐標公式，可得x_p=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，從而y_p=kx_p+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，再表示出k_AP，由|AM|=|AN|可得AP⊥MN，則-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1，再聯立m²＜3k²+1，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）由$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸，由頂點A（0，-1），
∴b=1，
∴設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
則右焦點F（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
由題意可得：$\frac{丨\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}丨}{\sqrt{2}}$=3，解得a²=3，
故所求橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設P為弦MN的中點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，
∴△=（6mk）²-4（3k²+1）×3（m²-1）＞0，即m²＜3k²+1，①
∴x_p=$\frac{{x}_{M}+{x}_{N}}{2}$=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，
從而y_p=kx_p+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，
∴k_AP=$\frac{{y}_{p}+1}{{x}_{p}}$=$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$，
又∵|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，
則-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1．②
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2；
由②得k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$，
綜上求得：m的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜m＜2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離關系，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．