Question

3．已知函數f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）當a=-$\frac{1}{3}$，求函數f（x）在區間[e，e²]上的極值；
（2）當a=1時，函數g（x）=f（x）-$\frac{2}{t}$x²只有一個零點，求正數t的值．

Answer 1

分析 （1）當a=-$\frac{1}{3}$時，求導，令f′（x）=0，解得x=3，令f′（x）＞0，求得f（x）在區間[e，3）上單調遞增，令f′（x）＜0，f（x）在區間（3，e²]上單調遞減，可得函數f（x）在x=3時取極大值；
（2）當a=1時，求得g（x）的解析式，由題意可知：f（x）-$\frac{2}{t}$x²=0只有一個實數解，即2x²-tlnx-tx=0只有唯一正實數解，設h（x）=2x²-tlnx-tx，求導，令h′（x）=0，求得x₂=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，根據函數的單調性可知：h（x）的最小值h（x₂），因此2lnx₂+x₂-1=0，設m（x）=2lnx+x-1（x＞0），求導m′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0恒成立，m（x）=0至多有一解，由m（1）=0，則x₂=1，即$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$=1，即可求得t的值．

解答 解：（1）當a=-$\frac{1}{3}$時，求導f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{3-x}{3x}$（x∈[e，e²]），…（1分）
由f′（x）=0，解得x=3，
當x∈[e，3）時，f′（x）＞0，f（x）在區間[e，3）上單調遞增，
當x∈（3，e²]時，f′（x）＜0，f（x）在區間（3，e²]上單調遞減，…（3分）
∴f（x）在區間[e，e²]上只有極大值，無極小值，且f（x）_極大值=f（3）=ln3-1，…（5分）
（2）當a=1時，g（x）=f（x）-$\frac{2}{t}$x²，只有一個零點，等價于方程f（x）-$\frac{2}{t}$x²=0只有一個實數解，
即2x²-tlnx-tx=0只有唯一正實數解．
設h（x）=2x²-tlnx-tx，則h′（x）=4x-$\frac{t}{x}$-t=$\frac{4{x}^{2}-tx-t}{x}$，
令h′（x）=0，即4x²-tx-t=0，
∵x＞0，t＞0，
解得：x₁=$\frac{t-\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，x₂=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，…（7分）
當x∈（0，x₂）時，h′（x）＜0，則h（x）在（0，x₂）上單調遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，h′（x）＞0，則h（x）在（x₂，+∞）上單調遞增；
∴h（x）的最小值h（x₂），…（8分）
要使得方程2x²-tlnx-tx=0只有唯一實數解，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（{x}_{2}）=0}\\{h′（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}^{2}-tln{x}_{2}-t{x}_{2}=0}\\{4{x}_{2}^{2}-t{x}_{2}-t=0}\end{array}\right.$，得
2tlnx₂+tx₂-t=0，
∵t＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0，…（10分）
設m（x）=2lnx+x-1（x＞0），求導m′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0恒成立，
故m（x）在（0，+∞）單調遞增，
m（x）=0至多有一解，
又∵m（1）=0，
∴x₂=1，即$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$=1，
解得：t=2，
正數t的值2．…（12分）

點評 本題考查函數的導數，極值，最值及單調性，考查利用導數研究函數的單調性及最值，考查構造法求函數的最值，考查計算能力，屬于難題．