Question

14．某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在髙三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．

年級名次 是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

（1）若直方圖中后四組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以下的人數；
（2）學習小組成員發現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調查，得到表中數據，根據表中的數據，能否有95%的把握認為視力與學習成績有關系？
（3）在（2 ）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了 9人，進一步調查他們良好的護眼習慣，求在這9人中任取3人，恰好有2人的年級名次在 1～50名的概率．
附：

P（K2＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列的性質，求出相應的頻率，即可估計，
（2）根據表中的數據，計算觀測值k²，得出統計結論；
（2）用排列組合求出基本事件數，計算對應的概率．

解答 解：（1）設各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，
因為后四組的頻數成等差數列，所以后四組頻數依次為 27，24，21，18，
所以視力在5.0以下的頻數為3+7+27+24+21=82人，
故全年級視力在5.0以下的人數約為$1000×\frac{82}{100}=820$．
（2）${K^2}=\frac{{100×{{（{41×81-32×9}）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{700}{73}≈4.110＞3.841$，
有95%的把握認為視力與學習成績有關系．
（3）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，
∴$P=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{3}{14}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目．