Question

6．對于函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列3個命題：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），對于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③函數y=f（x）-ln（x-1）在（1，+∞）上有3個零點；
則其中所有真命題的序號是①③．

Answer 1

分析 ①作出函數f（x）的圖象，利用數形結合進行判斷，
②利用反例判斷正誤；
③根據函數的圖象判斷即可．

解答 解：①函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
f（x）的最大值為1，最小值為-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正確；
②f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$+2）=4f（$\frac{1}{2}$+4）=6f（$\frac{1}{2}$+6）≠8f（$\frac{1}{2}$+8），故不正確；
③如圖所示，函數y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；所以③正確．
故答案為：①③．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數的性質，函數最值的應用，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．