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13．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0．求證：數列{a_n}是等比數列．

分析由a_n=S_n-S_n-1=（λ+1）-λa_n-[（λ+1）-λa_n-1]，得到a_n和a_n-1的關系式．再由等比數列的定義$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$為常數得證．

解答證明：由S_n=（1+λ）-λa_n得，
S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=-λa_n+λa_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{1+λ}$（n≥2），
∵λ≠-1，0，
∴數列{a_n}是等比數列．

點評本題主要考查等比數列的判斷，根據條件求出數列的通項公式是解決本題的關鍵．

練習冊系列答案

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